Tubo de Prandtl
Prandtl combinó en un solo instrumento un tubo de Pitot y un tubo piezométrico.
El tubo de Pitot mide la presión total.
El tubo pie´zométrico la presión estática
El tubo de Prantl la presión dinámica es decir la diferencia de las dos anteriores.
Este tubo es muy usado en laboratorios con líquidos y gases, y se usa para medir la velocidad del aire en aerodinámica y la velocidad y el caudal en los ventiladores.
El tubo de Prandtl al igual que el de Pitot al ser introducido en el fluido produce una perturbación, que se traduce en la formación en 1 de un punto de estancamiento de forma que el p1= pt V1= 0 y Vot = velocidad teórica en la sección O
Aplicando Bernoulli entre 0 y 1
p0 + ρ Vot²/ 2 = p1
p2= p0
Entonces p1 - p2 = ρ Vot²/ 2
Por otra parte, yendo de 1 a 2 por el interior del manómetro, estando tanto el fluido principal como el líquido manométrico en reposo, se podrá aplicar la ecuación de la hidrostática :
p1 = p2 +ρgl + ρmgΔh-ρg Δh - ρgl
ρ Vot²/ 2 = (ρm – ρ) g Δh despejando para Vot
Vot=√(2g (ρm – ρ)/ ρ Δh = √2g(δ-1) Δh Velocidad teórica en el tubo de Prandtl
En la práctica V2 es algo mayor que Vo y p2 es algo menor que p0, además en el punto 1, si el eje del tubo de Prandtl está inclinado con relación a las líneas de corriente puede producirse una velocidad distinta de cero.
viernes, 3 de abril de 2009
Hidrodinámica
Regímenes de corriente
Corriente permanente y corriente variable
Permanente: Si en cualquier punto del espacio por donde circula el fluido no varían con el tiempo sus características en particular su velocidad y su presión.
Variable si sucede lo contrario.
Corriente Uniforme y no Uniforme
Uniforme: si en cualquier sección transversal a la corriente la velocidad en puntos homólogos es igual en magnitud y dirección.
No Uniforme: caso contrario.
Corriente laminar y turbulenta
Laminar si es perfectamente ordenada de manera que el fluido se mueve en láminas paralelas.
Turbulenta caso contrario
El que se de uno u otro caso depende de la viscosidad y se tomará para ello el No de Reynolds
No Re= ρVD/μ donde ρ es la densidad del fluido
V la velocidad del fluido
D el diámetro interno de tubería
μ la viscosidad dinámica
Re= VD/ν ν es la viscosidad cinemática.
Línea de corriente
El camino que recorre una partícula en su movimiento se llama trayectoria de la partícula.
Si el régimen es permanente la trayectoria coincide con la línea de corriente.
Línea de corriente es la curva tangente a los vectores de velocidad en cada punto.
Tubo de corriente: es un tubo imaginario o real cuya pared lateral está formada por líneas de corriente.
Si el érea transversal de un tubo de corriente es infinitesimal el tubo de corriente se llama hilo o filamento de corriente.
DEFINICIÓN DE CAUDAL
Caudal Q es el volumen de un fluido por unidad de tiempo que pasa a través de una sección transversal a la corriente.
Ec. Dimensiones [ Q ]=[L]³[ T]ˉ¹
Unidades m³/ seg
dQ= VdA
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Para un hilo de corriente
En un hilo de corriente:a) no entra ni sale fluido lateralmente ya que la V es tangencial al hilo de corriente. b) no se crea ni destruye masa,
Por lo tanto
ρ1V1dA1 = ρ2V2dA2 = ρ3V3 dA3 = C
Ecuación de continuidad para un fluido compresible e incompresible y un hilo de corriente
V1dA1 / v1 = V2dA2 / v2 = V3dA3 / v3= C donde v es el volumen específico.
Ecuación de continuidad para un fluido incompresible solamente y un hilo de corriente
V1dA1 =V2dA2= V3dA3 = C
me = ms
En la mecánica del fluido compresible se usa la variable G, llamada caudal másico.
Ecuación de dimensiones [ G ]=[M][T]ˉ¹
Unidades kg / s
En un filamento de corriente:
dG= ρdQ= ρ V dA= VdA/v
Sólo en un fluido incompresible el caudal volumétrico que atraviesa una sección transversal cualquiera de un filamento de corriente es constante; pero en todo fluido tanto compresible como incompresible el caudal másico es constante.
Fuerzas que actúan sobre un fluido
Fuerza de gravedad
Fuerza causada por la diferencia de presiones
Fuerza debida a la viscosidad
Fuerza de elasticidad
Fuerza debida a la tensión superficial
Forma sintetizada de las ecuaciones de Euler
(dVx/ dt)dx= -1/ρ ∂p /∂x dx
(dVy/ dt) dy = -1/ρ ∂p /∂y dy
(dVz/ dt) dz= -g dz -1/ρ ∂p/ ∂z dz
Sumando miembro a miembro
(dVx/dt)dx+ (dVy/ dt) dy + (dVz/ dt) dz=-gdz-1/ρ(∂p /∂x dx+
∂p /∂y dy + ∂p/ ∂z dz)
dx/dt= Vx, dy/dt= Vy, dz/dt= Vz
VxdVx + VydVy + VzdVz= -gdz -1/ρ(∂p/∂x dx+∂p/∂y dy+∂p/∂z dz)
1/2d(Vx²+Vy²+Vz²) = 1/2dV²
Al suponer régimen permanente, p no es función de t, y su diferencial total será:
dp= ∂p/∂x dx+∂p/∂y dy+∂p/∂z dz
Con lo cual obtenemos la siguiente ecuación
dp / ρ + gdz +dV²/2= 0
Integrando la ecuación anterior entre dos puntos conocidos 1 y 2 se obtiene:
p1/ρ+gz1+V1/2 = p2/ρ +gz2+V2/2 = C que es la ecuación de Bernoulli para un fluido ideal e incomprensible.
Si la ecuación anterior se divide por g se obtiene:
p1/ρg+z1+V1/2g = p2 / ρg +z2+V2/2g = C es la misma ecuación de Bernoulli, solo que en términos de altura.
Clasificación de las energías de un fluido incompresible
Energía: Capacidad de un cuerpo de realizar trabajo mecánico.
Ecuación de dimensiones
[E]=[F][L]=[M][L]²[T]ˉ²
Unidades N·m = kg·m²/s² que es el J
En Mecánica de Fluidos lo mismo que en Termodinámica se prefiere usar la energía específica e en lugar de la energía total E
En el SI e= E/ m
En el ST e=E/W
Ecuación de Bernoulli y Primer Principio de la Termodinámica
dq=du + pdv+vdp +dev +dez +dw
dq = calor absorbido(+) o cedido(-)por el fluido por kg
du = energía interna específica
p = presión
v = volumen específico
ev = energía cinética específica V²/ 2
ez = energía geodésica específica zg
w = trabajo realizado por el fluido(+) o absorbido(-) por kg
En el SI todos los téminos vienen expresados en J/kg= m²/s²
Si se aplica la ecuación anterior a un fluido ideal en una tubería
dw=0 (fluido ideal no realiza ni absorbe trabajo)
dq=0 (flujo adiabático)
La termodinámica nos dice que si no hay rozamiento y el proceso es irreversible:
du+ pdv = dq; pero dq=0 luego entonces du+pdv=0
ev = V²/2, ez= zg, v= 1/ρ= C ( fluido incompresible)
dp/ρ +d(V²/2)+ d(zg) = 0
e integrando entre dos puentos cualesquiera 1 y 2
p1/ ρ + z1g + V²1 /2 = p2/ ρ + z2g + V²2 /2 o
dividiendo por g la ecuación anterior:
p1/ ρg + z1+ V²1 /2g = p2/ ρg + z2 + V²2 /2g
En un fluido real la viscosidad origina rozamiento en las partículas del fluido entre si y en las partículas del fluido con las paredes de la tubería.
Se sigue cumpliendo el primer principio de la termodinámica
Y aparece una nueva forma de energía, energía no aprovechada y que llamaremos Hr entonces:
p1/ ρg + z1+ V²1 /2g – Hr1-2 = p2/ ρg + z2 + V²2 /2g
Si la corriente atraviesa una o varias máquinas que le suministran energía (bombas), experimenta un incremento en energía que llamaremos ∑Hb. Así mismo si la corriente atraviesa una o varias máquinas a las que cede energía (turbinas) experimenta un decremento de energía que llamaremos -∑Ht.
p1/ ρg + z1+ V²1 /2g – Hr1-2 + ∑Hb -∑Ht = p2/ ρg + z2 +V²2/2g
Algunas aplicaciones de la ecuación de Bernoulli
Salida por un orificio: Ecuación de Torricelli
Se tiene un depósito con un líquido por ejemplo agua, y tiene en la parte inferior un orificio provisto de una tubería que termina en una válvula, Suponga que el líquido se comporta como fluido ideal.
-La superficie libre del depósito se mantiene a una altura H constante con relación al plano de referencia z=0 que se tomará a la salida de tubería.
-El área de la superficie libre es suficientemente grande para que pueda considerarse la V1 =0
-En el punto 1 la energía geodésica z1 = H.
-Se despreciarán las pérdidas
Tubo de Pitot
Sirve para medir la presión de estancamiento o presión total( suma de la presión estática y la presión dinámica).
_En la embocadura del tubo se forma un punto de estancamiento o remanso. La V allí se reduce a 0 y la presión aumenta hasta el valor:
p1/ρg= pt/ ρg = p0/ ρg +V²0/ 2g
Aplicando ahora Bernoulli entre 1 y2 se tiene:
p1/ ρg + z1+ V²1 /2g = p2/ ρg + z2 + V²2 /2g
En 1 y 2 reinan condiciones estáticas, V1 = V2 =0 y
z2-z1=H Entonces pt = ρg H que es la presión de estancamiento o presión total de un tubo de Pitot.
Corriente permanente y corriente variable
Permanente: Si en cualquier punto del espacio por donde circula el fluido no varían con el tiempo sus características en particular su velocidad y su presión.
Variable si sucede lo contrario.
Corriente Uniforme y no Uniforme
Uniforme: si en cualquier sección transversal a la corriente la velocidad en puntos homólogos es igual en magnitud y dirección.
No Uniforme: caso contrario.
Corriente laminar y turbulenta
Laminar si es perfectamente ordenada de manera que el fluido se mueve en láminas paralelas.
Turbulenta caso contrario
El que se de uno u otro caso depende de la viscosidad y se tomará para ello el No de Reynolds
No Re= ρVD/μ donde ρ es la densidad del fluido
V la velocidad del fluido
D el diámetro interno de tubería
μ la viscosidad dinámica
Re= VD/ν ν es la viscosidad cinemática.
Línea de corriente
El camino que recorre una partícula en su movimiento se llama trayectoria de la partícula.
Si el régimen es permanente la trayectoria coincide con la línea de corriente.
Línea de corriente es la curva tangente a los vectores de velocidad en cada punto.
Tubo de corriente: es un tubo imaginario o real cuya pared lateral está formada por líneas de corriente.
Si el érea transversal de un tubo de corriente es infinitesimal el tubo de corriente se llama hilo o filamento de corriente.
DEFINICIÓN DE CAUDAL
Caudal Q es el volumen de un fluido por unidad de tiempo que pasa a través de una sección transversal a la corriente.
Ec. Dimensiones [ Q ]=[L]³[ T]ˉ¹
Unidades m³/ seg
dQ= VdA
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Para un hilo de corriente
En un hilo de corriente:a) no entra ni sale fluido lateralmente ya que la V es tangencial al hilo de corriente. b) no se crea ni destruye masa,
Por lo tanto
ρ1V1dA1 = ρ2V2dA2 = ρ3V3 dA3 = C
Ecuación de continuidad para un fluido compresible e incompresible y un hilo de corriente
V1dA1 / v1 = V2dA2 / v2 = V3dA3 / v3= C donde v es el volumen específico.
Ecuación de continuidad para un fluido incompresible solamente y un hilo de corriente
V1dA1 =V2dA2= V3dA3 = C
me = ms
En la mecánica del fluido compresible se usa la variable G, llamada caudal másico.
Ecuación de dimensiones [ G ]=[M][T]ˉ¹
Unidades kg / s
En un filamento de corriente:
dG= ρdQ= ρ V dA= VdA/v
Sólo en un fluido incompresible el caudal volumétrico que atraviesa una sección transversal cualquiera de un filamento de corriente es constante; pero en todo fluido tanto compresible como incompresible el caudal másico es constante.
Fuerzas que actúan sobre un fluido
Fuerza de gravedad
Fuerza causada por la diferencia de presiones
Fuerza debida a la viscosidad
Fuerza de elasticidad
Fuerza debida a la tensión superficial
Forma sintetizada de las ecuaciones de Euler
(dVx/ dt)dx= -1/ρ ∂p /∂x dx
(dVy/ dt) dy = -1/ρ ∂p /∂y dy
(dVz/ dt) dz= -g dz -1/ρ ∂p/ ∂z dz
Sumando miembro a miembro
(dVx/dt)dx+ (dVy/ dt) dy + (dVz/ dt) dz=-gdz-1/ρ(∂p /∂x dx+
∂p /∂y dy + ∂p/ ∂z dz)
dx/dt= Vx, dy/dt= Vy, dz/dt= Vz
VxdVx + VydVy + VzdVz= -gdz -1/ρ(∂p/∂x dx+∂p/∂y dy+∂p/∂z dz)
1/2d(Vx²+Vy²+Vz²) = 1/2dV²
Al suponer régimen permanente, p no es función de t, y su diferencial total será:
dp= ∂p/∂x dx+∂p/∂y dy+∂p/∂z dz
Con lo cual obtenemos la siguiente ecuación
dp / ρ + gdz +dV²/2= 0
Integrando la ecuación anterior entre dos puntos conocidos 1 y 2 se obtiene:
p1/ρ+gz1+V1/2 = p2/ρ +gz2+V2/2 = C que es la ecuación de Bernoulli para un fluido ideal e incomprensible.
Si la ecuación anterior se divide por g se obtiene:
p1/ρg+z1+V1/2g = p2 / ρg +z2+V2/2g = C es la misma ecuación de Bernoulli, solo que en términos de altura.
Clasificación de las energías de un fluido incompresible
Energía: Capacidad de un cuerpo de realizar trabajo mecánico.
Ecuación de dimensiones
[E]=[F][L]=[M][L]²[T]ˉ²
Unidades N·m = kg·m²/s² que es el J
En Mecánica de Fluidos lo mismo que en Termodinámica se prefiere usar la energía específica e en lugar de la energía total E
En el SI e= E/ m
En el ST e=E/W
Ecuación de Bernoulli y Primer Principio de la Termodinámica
dq=du + pdv+vdp +dev +dez +dw
dq = calor absorbido(+) o cedido(-)por el fluido por kg
du = energía interna específica
p = presión
v = volumen específico
ev = energía cinética específica V²/ 2
ez = energía geodésica específica zg
w = trabajo realizado por el fluido(+) o absorbido(-) por kg
En el SI todos los téminos vienen expresados en J/kg= m²/s²
Si se aplica la ecuación anterior a un fluido ideal en una tubería
dw=0 (fluido ideal no realiza ni absorbe trabajo)
dq=0 (flujo adiabático)
La termodinámica nos dice que si no hay rozamiento y el proceso es irreversible:
du+ pdv = dq; pero dq=0 luego entonces du+pdv=0
ev = V²/2, ez= zg, v= 1/ρ= C ( fluido incompresible)
dp/ρ +d(V²/2)+ d(zg) = 0
e integrando entre dos puentos cualesquiera 1 y 2
p1/ ρ + z1g + V²1 /2 = p2/ ρ + z2g + V²2 /2 o
dividiendo por g la ecuación anterior:
p1/ ρg + z1+ V²1 /2g = p2/ ρg + z2 + V²2 /2g
En un fluido real la viscosidad origina rozamiento en las partículas del fluido entre si y en las partículas del fluido con las paredes de la tubería.
Se sigue cumpliendo el primer principio de la termodinámica
Y aparece una nueva forma de energía, energía no aprovechada y que llamaremos Hr entonces:
p1/ ρg + z1+ V²1 /2g – Hr1-2 = p2/ ρg + z2 + V²2 /2g
Si la corriente atraviesa una o varias máquinas que le suministran energía (bombas), experimenta un incremento en energía que llamaremos ∑Hb. Así mismo si la corriente atraviesa una o varias máquinas a las que cede energía (turbinas) experimenta un decremento de energía que llamaremos -∑Ht.
p1/ ρg + z1+ V²1 /2g – Hr1-2 + ∑Hb -∑Ht = p2/ ρg + z2 +V²2/2g
Algunas aplicaciones de la ecuación de Bernoulli
Salida por un orificio: Ecuación de Torricelli
Se tiene un depósito con un líquido por ejemplo agua, y tiene en la parte inferior un orificio provisto de una tubería que termina en una válvula, Suponga que el líquido se comporta como fluido ideal.
-La superficie libre del depósito se mantiene a una altura H constante con relación al plano de referencia z=0 que se tomará a la salida de tubería.
-El área de la superficie libre es suficientemente grande para que pueda considerarse la V1 =0
-En el punto 1 la energía geodésica z1 = H.
-Se despreciarán las pérdidas
Tubo de Pitot
Sirve para medir la presión de estancamiento o presión total( suma de la presión estática y la presión dinámica).
_En la embocadura del tubo se forma un punto de estancamiento o remanso. La V allí se reduce a 0 y la presión aumenta hasta el valor:
p1/ρg= pt/ ρg = p0/ ρg +V²0/ 2g
Aplicando ahora Bernoulli entre 1 y2 se tiene:
p1/ ρg + z1+ V²1 /2g = p2/ ρg + z2 + V²2 /2g
En 1 y 2 reinan condiciones estáticas, V1 = V2 =0 y
z2-z1=H Entonces pt = ρg H que es la presión de estancamiento o presión total de un tubo de Pitot.
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