Caso 2. La temperatura varía linealmente con la elevación.
T= T1 + Kz (1)
T1 es una temperatura conocida en el nivel de referencia z=0.
K es una constante que se conoce como tasa de lapso
Si se deriva la ecuación 1 con respecto a T y z se obtiene:
dT = K dz despejando para dz, dz = dT/ K (2)
De la ecuación de estado pv= RT y recordando que ɣ= g/v
Sustituyendo en la ecuación de estado y despejando para ɣ
Se obtiene: ɣ = pg/ RT
De la ecuación básica de la estática dp/dz = -ɣ y sustituyendo el valor de ɣ obtenido de la ecuación de estado tendremos :
dp/ dz = -pg/RT
Separando variables
dp/ p = -gdz/RT sustituyendo el valor de dz de la ecuación (2) en esta ecuación dp/p = -g dT/ KRT



Integrando se obtiene la ecuación
g/KR
ln( p/p1)= g/KR ln(T1/T) = ln (T1/T)
Despejando para p y reemplazando la temperatura T por T1 + Kz
g/ KR
Se obtiene finalmente p = p1 [ T1/ (T1 + Kz)]
Ejemplo
La atmósfera de un planeta tiene una temperatura de 15 °C al nivel del mar y baja 1 °C por cada 500 m de elevación. La constante de gas R para esta atmósfera es 200 N·m/ kg K ¿ A qué elevación la presión es el 30 % de la correspondiente a nivel del mar? Tome g= 9.0 m/².

Primero se debe encontrar K para esta atmósfera
T = T1 + Kz → T-T1 = Kz (1) Para T- T1 = -1 °C, z= 500 m
Al aplicar esto en la ecuación (1)
-1 = 500 K
K= -1/500
Se pide la elevación cuando la presión tiene un valor del 30% de la presión del mar → p/ p1 = 0.30
g/KR
Por lo tanto p/p1= 0.30 = ( T1 / T1 + Kz)
T1= 15 + 273 = 288 K sustituyendo en la ecuación anterior
9/[200(-1/500)]
0.30= (288/288-z/500)
z = 8231 m

Fuerzas que ejerce un fluido sobre áreas planas

Superficies horizontales
Una superficie plana en posición horizontal dentro de un fluido en reposo está sujeta a presión constante.
La magnitud de la fuerza que actúa sobre la superficie es
∫p dA = p ∫dA = pA
Todas las fuerzas elementales pdA que actúan sobre A son paralelas y tienen el mismo sentido. La suma escalar de todos estos elementos es la magnitud de la fuerza resultante.
Su dirección es perpendicular a la superficie y apunta hacia ésta si p es positiva
Para encontrar la línea de acción de la resultante, es decir el punto en el área donde el momento de la fuerza distribuida en torno a cualquier eje a través del punto es 0, se seleccionan arbitrariamente ejes x y puesto que el momento de la resultante debe ser igual al momento de fuerzas distribuida al rededor de cualquier eje.
F = p A
F = ɣh A
Para una superficie horizontal h es la altura al centro de gravedad y la llamaremos ȳ
Entonces ȳ
Será la distancia desde la superficie libre del fluido al centroide del área de nuestra superficie.
F = ɣȳ A
Para encontrar el punto del área donde está siendo aplicada la fuerza se usará la ecuación yp = IG / ȳA + ȳ
Donde IG es el segundo momento del área entorno a su eje centroidal horizontal
Para un rectángulo o un cuadrado IG = 1/12 b h³


Fuerzas sobre superficies inclinadas
Lo que se busca es la magnitud, dirección y línea de acción de la fuerza resultante debida al líquido.
La magnitud de esa fuerza viene dada por
δF= pδA = ɣh δA = ɣ y senθ δA entonces
F = ∫pdA = ɣ senθ ∫ y dA = ɣ senθ ȳ A = ɣɦA = pG A
Centro de presión
xp F = ∫ xp dA yp F = ∫ yp dA


xp = 1 / ɣ senθ ȳ A ∫ x yɣ senθ dA = 1/ (ȳ A)∫ xy dA = Ixy / ȳ A
xp = Īxy /ȳ A + xc
Si xc o ȳ están en un eje de simetría Īxy = 0

yp = 1 / ɣ senθ ȳ A ∫ y yɣ senθ dA = 1/ (ȳ A)∫ y² dA = Ix / (ȳ A)
Ix = IG + ȳ² A y p = I G/ (ȳ A) + ȳ
IG = (1 / 12 )( b h³) para un rectángulo o un cuadrado
IG = (1/36) bh³ para un triángulo
Problemas
Un manómetro diferencial está unido a dos secciones rectas A y B de una tubería horizontal por la que circula agua. La lectura del manómetro de mercurio es de 0.60 m siendo el nivel más cercano a A el más bajo. Calcular la diferencia de presiones entre A y B en kgf/ cm².

El depósito contiene aceite y agua. Encontrar la fuerza resultante sobre la pared ABC que tiene 1.20 m de anchura.

La posición y forma de la pantalla de un dique se indican en la figura, sabiendo que el líquido es agua y su nivel alcanza el borde superior de la pantalla se pide determinar la fuerza de compresión que actúa sobre la barra de soporte EN