Caso 2. La temperatura varía linealmente con la elevación.
T= T1 + Kz (1)
T1 es una temperatura conocida en el nivel de referencia z=0.
K es una constante que se conoce como tasa de lapso
Si se deriva la ecuación 1 con respecto a T y z se obtiene:
dT = K dz despejando para dz, dz = dT/ K (2)
De la ecuación de estado pv= RT y recordando que ɣ= g/v
Sustituyendo en la ecuación de estado y despejando para ɣ
Se obtiene: ɣ = pg/ RT
De la ecuación básica de la estática dp/dz = -ɣ y sustituyendo el valor de ɣ obtenido de la ecuación de estado tendremos :
dp/ dz = -pg/RT
Separando variables
dp/ p = -gdz/RT sustituyendo el valor de dz de la ecuación (2) en esta ecuación dp/p = -g dT/ KRT
Integrando se obtiene la ecuación
g/KR
ln( p/p1)= g/KR ln(T1/T) = ln (T1/T)
Despejando para p y reemplazando la temperatura T por T1 + Kz
g/ KR
Se obtiene finalmente p = p1 [ T1/ (T1 + Kz)]
Ejemplo
La atmósfera de un planeta tiene una temperatura de 15 °C al nivel del mar y baja 1 °C por cada 500 m de elevación. La constante de gas R para esta atmósfera es 200 N·m/ kg K ¿ A qué elevación la presión es el 30 % de la correspondiente a nivel del mar? Tome g= 9.0 m/².
Primero se debe encontrar K para esta atmósfera
T = T1 + Kz → T-T1 = Kz (1) Para T- T1 = -1 °C, z= 500 m
Al aplicar esto en la ecuación (1)
-1 = 500 K
K= -1/500
Se pide la elevación cuando la presión tiene un valor del 30% de la presión del mar → p/ p1 = 0.30
g/KR
Por lo tanto p/p1= 0.30 = ( T1 / T1 + Kz)
T1= 15 + 273 = 288 K sustituyendo en la ecuación anterior
9/[200(-1/500)]
0.30= (288/288-z/500)
z = 8231 m
Fuerzas que ejerce un fluido sobre áreas planas
Superficies horizontales
Una superficie plana en posición horizontal dentro de un fluido en reposo está sujeta a presión constante.
La magnitud de la fuerza que actúa sobre la superficie es
∫p dA = p ∫dA = pA
Todas las fuerzas elementales pdA que actúan sobre A son paralelas y tienen el mismo sentido. La suma escalar de todos estos elementos es la magnitud de la fuerza resultante.
Su dirección es perpendicular a la superficie y apunta hacia ésta si p es positiva
Para encontrar la línea de acción de la resultante, es decir el punto en el área donde el momento de la fuerza distribuida en torno a cualquier eje a través del punto es 0, se seleccionan arbitrariamente ejes x y puesto que el momento de la resultante debe ser igual al momento de fuerzas distribuida al rededor de cualquier eje.
F = p A
F = ɣh A
Para una superficie horizontal h es la altura al centro de gravedad y la llamaremos ȳ
Entonces ȳ
Será la distancia desde la superficie libre del fluido al centroide del área de nuestra superficie.
F = ɣȳ A
Para encontrar el punto del área donde está siendo aplicada la fuerza se usará la ecuación yp = IG / ȳA + ȳ
Donde IG es el segundo momento del área entorno a su eje centroidal horizontal
Para un rectángulo o un cuadrado IG = 1/12 b h³
Fuerzas sobre superficies inclinadas
Lo que se busca es la magnitud, dirección y línea de acción de la fuerza resultante debida al líquido.
La magnitud de esa fuerza viene dada por
δF= pδA = ɣh δA = ɣ y senθ δA entonces
F = ∫pdA = ɣ senθ ∫ y dA = ɣ senθ ȳ A = ɣɦA = pG A
Centro de presión
xp F = ∫ xp dA yp F = ∫ yp dA
xp = 1 / ɣ senθ ȳ A ∫ x yɣ senθ dA = 1/ (ȳ A)∫ xy dA = Ixy / ȳ A
xp = Īxy /ȳ A + xc
Si xc o ȳ están en un eje de simetría Īxy = 0
yp = 1 / ɣ senθ ȳ A ∫ y yɣ senθ dA = 1/ (ȳ A)∫ y² dA = Ix / (ȳ A)
Ix = IG + ȳ² A y p = I G/ (ȳ A) + ȳ
IG = (1 / 12 )( b h³) para un rectángulo o un cuadrado
IG = (1/36) bh³ para un triángulo
Problemas
Un manómetro diferencial está unido a dos secciones rectas A y B de una tubería horizontal por la que circula agua. La lectura del manómetro de mercurio es de 0.60 m siendo el nivel más cercano a A el más bajo. Calcular la diferencia de presiones entre A y B en kgf/ cm².
El depósito contiene aceite y agua. Encontrar la fuerza resultante sobre la pared ABC que tiene 1.20 m de anchura.
La posición y forma de la pantalla de un dique se indican en la figura, sabiendo que el líquido es agua y su nivel alcanza el borde superior de la pantalla se pide determinar la fuerza de compresión que actúa sobre la barra de soporte EN
sábado, 14 de marzo de 2009
martes, 3 de marzo de 2009
Concepto de Fluido
oFluido es aquella sustancia que, debido a su poca cohesión intermolecular, carece de forma propia y adopta la del recipiente que lo contiene.
oFluido es una sustancia que se deforma continuamente, si se somete a un esfuerzo tangencial o cortante.
oLos fluidos se clasifican en líquidos y gases.
oLos sólidos ofrecen resistencia a cambiar de volumen y forma.
oLos líquidos ofrecen resistencia a cambiar de volumen más no de forma,
oLos gases no ofrecen ninguna resistencia ni a cambiar volumen ni forma.
oComportamiento de líquidos y gases es análogo en conductos cerrados.
oComportamiento de líquidos y gases es distinto en conductos abiertos.
oLíquidos a p y t determinados ocupan un v determinado.
oLíquido adopta la forma del recipiente que lo contiene.
oSi sobre un líquido reina una presión adopta una superficie libre plana.
oLos gases a P y T determinados ocupan un V determinado.
oLos gases en libertad se expanden y no presentan superficie libre.
oLos sólidos y líquidos son poco compresibles
oLos gases son muy compresibles.
Por lo tanto los líquidos se consideran incompresibles y los gases compresibles
Pero en los gases si las variaciones de presión son pequeñas inferiores a los 100 mbar el gas puede considerarse incompresible. Asi un ventilador que comprime aire a los 10 mbar sobre la presión atmosférica es una máquina que se estudia en la mecánica del fluido incomprensible.
oUn compresor que comprime aire a 7 bar por encima de la presión atmosférica es una máquina donde los efectos de compresibilidad no pueden despreciarse.
Propiedades de los fluidos
oDensidad específica o absoluta
La densidad es la masa por unidad de volumen.
ρ= m/v m en Kg en SI, v en m³ en SI
Ecuación de Dimensiones [ρ] = [ m ][L]ˉ³
Para el agua destilada a la presión atmosférica y 4 ˚C
ρ= 1000 kg/ m³ = 102 UTM/ m³
oPeso Específico
Es el peso por unidad de volumen
γ = W / V donde W es el peso en N en SI
V es el volumen en m³ en SI
Ecuación de Dimensiones
[γ] = [W]/[v] =[F][L]ˉ³=[M][L]ˉ²[T]ˉ²
Para el agua γ= 1000 Kgf/ m³= 9800 N/m³
oW= mg (1)
oγ = W/v entonces el W= γ*v(2)
oSustituyendo 2 en 1 se obtiene:
oγ * v = mg
oDespejando para el peso específico
oγ =m/v g y m/v= ρ, por lo tanto
oγ = ρg
oDensidad Relativa
Es la relación entre la masa de un cuerpo a la masa de un mismo volumen de agua destilada a la presión atmosférica y 4 ˚C, y es también igual al de los pesos.
La densidad relativa es adimensional.
La densidad relativa del agua = 1.0
El agua es la sustancia patrón en base a la que se miden las densidades relativas de las demás sustancias.
oVolumen Específico
Se define de distinta manera en el SI y en el ST.
En el SI el v = 1/ ρ es decir el volumen ocupa 1 kg de la masa de la sustancia
Ecuación de Dimensiones
[v ]=[L]³[M]ˉ¹
El volumen específico del agua destilada a 4˚C y presión atmosférica es 10ˉ³ m³/kg
oEn el ST v=1/γ
Compresibilidad
Tanto en fluidos como en sólidos se verifica la ley de la elasticidad:
§ Esfuerzo Unitario proporcional a deformación unitaria
§ En el caso de los fluidos el esfuerzo aplicado es de comprensión y es Δp, y la deformación unitaria es Δ v / v.
§ Obteniéndose Δp= -E Δ v / v, donde
Δp es es esfuerzo unitario de comprensión en N/ m² en SI
v es el volumen específico en m³ / kg en SI
Δv es el cambio en volumen específico en m³ / kg en SI
E módulo de elasticidad volumétrica en N / m² en SI
El signo negativo expresa que a un incremento en la presión corresponde un decremento de volumen.
Para el agua E~20,000 bar = 20,000*10^5 N / m²
Al aumentar la temperatura y la presión aumenta E.
Viscosidad
§Viscosidad Dinámica
Un sólido soporta esfuerzos normales de:
a)Compresión
b)Tracción
Un líquido soporta efectos normales de
a)comprensión, pero no de tracción
Tanto sólidos y fluidos pueden ser sometidos a esfuerzos tangenciales o cortantes.
Todos los cuerpos se deforman bajo la acción de las fuerzas tangenciales a que son sometidos.
En los cuerpos elásticos la deformación desaparece cuando deja de actuar la fuerza que la provoca.
En los cuerpos plásticos la deformación subsiste aunque desaparezca la fuerza deformadora.
§En los fluidos la deformación aumenta constantemente bajo la acción del esfuerzo cortante, por pequeño que este sea.
§Entre las moléculas del fluido existen fuerzas moleculares de cohesión.
§Al desplazarse unas moléculas con relación a las otras se produce una fricción.
§Ese coeficiente de fricción interna del fluido se llama viscosidad Dinámica y se representa por la letra griega μ.
§El estudio de la viscosidad y sus unidades se hace mediante la ley de Newton que cumplen los fluidos newtonianos como el agua, aire etc.
§Supongamos ahora que tenemos una capa de un fluido newtoniano de espesor yₒ, comprendido entre dos placas planas paralelas, la inferior fija y la superior libre. Sobre la placa superior actúa una fuerza tangencial constante F. La placa superior se desplaza con una velocidad vₒ.
§Dividamos la capa del fluido en capas infinitesimales paralelas a las placas de espesor dy. La capa contigua a la placa inferior fija se mantiene en reposo, y la capa superior contiguo a la placa en movimiento se pone en movimiento con la misma velocidad vₒ que la placa.
§Las capas intermedias se deslizan unas con otras como se deslizan las hojas de un libro colocado horizontalmente.Para mantener fija la placa inferior es menester aplicar una fuerza – F.
§La ley que rige este fenómeno establece que F es proporcional a la superficie A de la placa en movimiento, al gradiente de velocidades y a un coeficiente denominado viscosidad absoluta o viscosidad dinámica. F = A μ dv / dy
§Por definición F/A es el esfuerzo unitario cortante y se llama τ.
§ Entonces τ = F/A = μ d v / dy
§Si vₒ / yₒ = dv / dy entonces μ= Fyₒ / Avₒ
§En estas ecuaciones se observa:
a)En un mismo fluido μ = cte. Si la fuerza aumenta, aumenta la velocidad con que se mueve la placa.
b)Una fuerza por pequeña que sea produce en un fluido un gradiente de velocidad.
Un fluido no ofrece resistencia a la deformación por esfuerzo cortante.
c)En un sólido rígido, μ es infinita ya que en el sólido no se origina un gradiente de velocidades en su interior dv / dy = 0.
d)En un fluido ideal μ = 0
e)En un fluido real la velocidad dinámica tiene un valor finito distinto de 0
f)Cuanto mayor es μ mayor es la fuerza para mover la placa y el líquido es más viscoso.
§La viscosidad produce una resistencia que se llama resistencia a la deformación.
§En un fluido ideal no existe resistencia alguna.
§En los fluidos en reposo v = 0, dv / dy= 0 y τ= 0 y el único esfuerzo existente es el normal o de presión.
§El fluido real en reposo se comporta como un fluido ideal μ=0.
§Las únicas fuerzas que actúan en un fluido en reposo son la gravedad en dirección vertical y la presión en dirección normal a la superficie considerada.
§La viscosidad como cualquier otra propiedad del fluido depende del estado del fluido, caracterizado por la presión y temperatura.
§Fluido Newtoniano, es aquel fluido cuya viscosidad dinámica depende de la presión y temperatura pero no del gradiente de velocidad.
§Ejemplos de fluidos newtonianos: agua, aire, gases y fluidos de pequeña viscosidad.
§La ciencia de los fluidos no newtonianos a los cuales pertenecen las grasas, materiales plásticos, metales líquidos, suspensiones, la sangre etc. se llama REOLOGÍA.
§Ecuación de Dimensiones de la viscosidad dinámica
[μ] =[F] [T] [L]ˉ² = [M] [L]ˉ¹[T]ˉ¹
Unidades: es muy corriente expresar la viscosidad dinámica en el sistema cegesimal (CGS)
1 μ = 1 dina * s / cm² = 1 g / cm* s = 1 Poise
1 N*s / m² = 1 Pa * s
1 kgf * s / m² = 9.81 Pa * s
Viscosidad Cinemática
§En hidrodinámica junto con las fuerzas debidas a la viscosidad, aparecen las fuerzas debidas a la inercia que dependen de la densidad.
§La viscosidad cinématica no es más que la relación que representa lo dicho en el párrafo anterior es decir es la relación entre la viscosidad dinámica y la densidad.
˅ = μ /ρ
Ecuación de Dimensiones [˅] =[ L ]²[ T ]ˉ¹
Unidades : 1 ˅ = 1 m² / s en SI
En la práctica se usa mucho el Stoke = 1 cm² / s.
§La viscosidad dinámica de los fluidos varía mucho con la temperatura, aumentando con la temperatura en los gases y disminuyendo en los líquidos pero en ambos casos es independiente de la presión.
§La viscosidad cinemática de los gases varía con la presión y la temperatura mientras en los líquidos solo varía con la temperatura.
Tensión superficial
Como su nombre indica produce efectos de tensión en la superficie de los líquidos.
Donde un fluido entra en contacto con otro fluido no miscible. O un fluido entra en contacto con un contorno sólido.
El origen de esta fuerza es la cohesión intermolecular y la fuerza de adhesión del fluido al sólido.
En la superficie libre de un líquido que es la superficie de contacto entre dos fluidos la tensión superficial se manifiesta como si el líquido creara alli una fina membrana.
Ecuación de Dimensiones [σ] = [ F ][ L ]ˉ¹
Unidades: F / m de longitud.
Tensión de vapor
§En la superficie de un líquido a cualquier temperatura hay un constante movimiento de moléculas que escapan de la superficie.
§Este fenómeno es el de evaporación
§Si el líquido está en un recipiente cerrado y sobre el queda un espacio libre este espacio se satura de vapor y ya no se evapora más líquido.
§Si se aumenta la temperatura se aumenta la presión de saturación y se evapora más líquido.
§Todo fluido tiene para cada temperatura una presión ps llamada presión de saturación del vapor a esa temperatura.
§O a cada presión le corresponde una Ts, llamada temperatura de saturación del vapor a esa presión.
§Propiedad fundamental en el fenómeno de Cavitación.
Presión
§Definición y propiedades
§P = F /A donde F es una fuerza normal a la superficie A
Propiedades
§Primera propiedad
La presión en un punto de un fluido en reposo es la misma en todas direcciones. ( Principio de Pascal)
Una diminuta placa sumergida en un fluido experimentará el mismo empuje de parte del fluido sea cual fuere la orientación de la placa.
Por lo tanto la presión no es un vector es un escalar y la fuerza de presión ejercida sobre la superficie de un contorno y dirigida normalmente a la misma es la presión media multiplicada por la superficie y esa si es un VECTOR.
Segunda propiedad
§La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal dentro de un fluido en reposo es la misma.
Consideremos un cilindro de un fluido horizontal de longitud l y de sección circular infinitesimal dA.
En el equilibrio las fuerzas aplicadas a ambos lados del cilindro se igualan entonces: F1 = F2
F1 = p1 dA1 y F2 = p2 dA2
Como el cilindro es de área constante dA1 = dA2 y p1 = p2
Ni la gravedad ni las presiones sobre la superficie lateral del cilindro tienen componente alguna en la dirección del eje del cilindro. Como la dirección del eje del cilindro es arbitraria queda demostrada la segunda propiedad.
§Tercera propiedad
En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el interior de un fluido, una parte del fluido sobre la otra contigua al mismo tiene dirección normal a la superficie de contacto.
§Cuarta propiedad
la fuerza de la presión de un fluido en reposo se dirige siempre al interior del fluido, es decir es una compresión jamás una tracción.
§Quinta propiedad
La superficie libre de un líquido en reposo es siempre horizontal
Unidades de la presión
§Ecuación de Dimensiones
[p]= [ F ][ L ]ˉ² = [ M ][ L ]ˉ¹[ T ]ˉ²
Unidades N/ m² = Pa
En la práctica se expresa con frecuencia la presión en altura equivalente de columna de un líquido determinado. Por ejemplo
m de la columna de agua, mm de la columna de mercurio etc.
Dimensionalmente la presión no es una longitud, y en SI se usa en lugar de mm de Hg lo que se conoce como Torr
1 mm c Hg = 1 Torr
Pero consideremos un recipiente cilíndrico de base horizontal A lleno de líquido de densidad ρ hasta una altura h.
§P = W / A = Vρg/ A = Ah ρg / A = ρ g h
Entonces la presión es igual a la densidad por la gravedad por la altura.
Ejemplo:
Hallar la presión correspondiente a una columna de glicerina de h=300 mm.
δ glicerina = 1.26
ρ glicerina= 1.26 * 1000 kg / m³ = 1, 260 kg / m³ en SI
p = 1,260 kg / m³ * 9.81 m / s² * 0.3 m = 3,708.2 Pa.
§Con frecuencia podemos cambiar de una columna de un líquido x a otra de un líquido distinto y entonces:
P = ρx g hx = ρy g hy
hy = ρx / ρy hx
si el líquido es agua hagua = ρx / ρagua hx = δx hx
Presión atmosférica
§Sobre la superficie libre de un líquido reina la presión del aire o gas que sobre ella existe y puede tener cualquier valor en un recipiente cerrado, pero si el recipiente está abierto sobre la superficie libre del líquido reina la presión atmosférica, debida al peso de la columna de aire que gravita sobre el fluido.
§La presión atmosférica depende de: la temperatura y la altitud.
§La presión media normal a 0 °C y a nivel del mar es de
760 Torr=1. 01396 bar y recibe el nombre de atmósfera normal.
§En la técnica se usa mucho la atmósfera técnica que es igual a 1 bar.
§Hay tres tipos de atmósfera:
Atmósfera normal = 1.01396 bar
Atmósfera técnica = 1 bar
Atmósfera local y temporal : presión atmosférica reinante y un lugar y tiempo determinados.
Presión absoluta y presión manométrica o relativa
§Las presiones absolutas se miden en relación al cero absoluto(vacío total o 100 % de vacío).
§Las presiones manométricas o relativas se miden en relación a la atmósfera.
§La mayoría de los manómetros miden presiones relativas con relación a la atmósfera local.
§Para hallar la presión absoluta con exactitud habrá que sumar a la presión leìda en el manómetro,la presión atmosférica local medida exactamente con un barómetro.
§Ecuación fundamental de la presión absoluta
Pabs = P rel + P amb
§Cuando se habla de presiones relativas, el valor de la presión atmosférica tiene un valor de 0.
Hidrostática
§Un fluido se considera estático si está en reposo o si sus partículas tienen las misma velocidad constante con respecto a un sistema de referencia inercial.
§No existe esfuerzo cortante y se trabaja con una distribución escalar de presiones.
§Variación de la presión en un fluido estático incomprensible.
Consideremos el equilibrio de fuerzas de un elemento infinitesimal de fluido. Las fuerzas que actúan son debido a la presión del medio circundante y a la fuerza de gravedad
Para el equilibrio se tiene :
-ɣ dx dy dz k + (-grad p) dx dy dz = 0
de donde resultan las siguientes ecuaciones escalares:
δp / δx =0 δp /δy = 0 δp/δz = -ɣ
§La presión varía solo en la dirección z
§Entonces la derivada parcial se convierte en derivada total.
dp / dz = -ɣ Esta ecuación diferencial se aplica a cualquier fluido estático compresible e incompresible.
Si evaluamos la distribución de presiones e integramos usando límites de integración convenientemente elegidos tendremos:
patm z0
∫ p dp = ∫ z -ɣdz
Si el fluido es incomprensible ɣ es constante
patm – p = - ɣ (z0 – z)
p – patm = ɣ d entonces p-patm = Presión manométrica o relativa
§Variación de la presión para un fluido estático compresible
Las distancias verticales en los gases en los problemas de manometría son muy pequeñas y se ignora la variación de la presión con la altura en esos casos.
Pero en calculos que involucren distancias verticales grandes como ocurre al considerar las atmósferas de los planetas si debe tomarse en cuenta.
El ɣ en este caso es variable, ya que el gas es compresible, al usar la ecuación de estado sabemos que pv = RT donde v es el volumen específico y en el SI es el inverso de la densidad.
Entonces si ɣ =ρg y ρ = 1 / v podemos decir que ɣ= 1/v g
y v = g/ɣ
Caso 1. Gas Perfecto Isotermo
pv = p1v1 = c pg/ɣ = p1 g1/ɣ1 = c
Suponiendo g constante y dividiendo por g entonces p/ɣ=p1/ɣ1=c/g = C’
§ dp / dz = -ɣ = -p/ C’
Suponiendo variables de integración entre p1 y p y z1 y z se tiene
p z
∫ p1 dp/p = ∫z1 dz/ C’
p z
ln p│p1 = -z/ C’│z1
ln p/p1 = -1/C’ ( z-z1)
Despejando para p y sustiyuendo C’= p1 / ɣ1
p = p1 exp [- ɣ1/ p1 (z-z1)]
oFluido es aquella sustancia que, debido a su poca cohesión intermolecular, carece de forma propia y adopta la del recipiente que lo contiene.
oFluido es una sustancia que se deforma continuamente, si se somete a un esfuerzo tangencial o cortante.
oLos fluidos se clasifican en líquidos y gases.
oLos sólidos ofrecen resistencia a cambiar de volumen y forma.
oLos líquidos ofrecen resistencia a cambiar de volumen más no de forma,
oLos gases no ofrecen ninguna resistencia ni a cambiar volumen ni forma.
oComportamiento de líquidos y gases es análogo en conductos cerrados.
oComportamiento de líquidos y gases es distinto en conductos abiertos.
oLíquidos a p y t determinados ocupan un v determinado.
oLíquido adopta la forma del recipiente que lo contiene.
oSi sobre un líquido reina una presión adopta una superficie libre plana.
oLos gases a P y T determinados ocupan un V determinado.
oLos gases en libertad se expanden y no presentan superficie libre.
oLos sólidos y líquidos son poco compresibles
oLos gases son muy compresibles.
Por lo tanto los líquidos se consideran incompresibles y los gases compresibles
Pero en los gases si las variaciones de presión son pequeñas inferiores a los 100 mbar el gas puede considerarse incompresible. Asi un ventilador que comprime aire a los 10 mbar sobre la presión atmosférica es una máquina que se estudia en la mecánica del fluido incomprensible.
oUn compresor que comprime aire a 7 bar por encima de la presión atmosférica es una máquina donde los efectos de compresibilidad no pueden despreciarse.
Propiedades de los fluidos
oDensidad específica o absoluta
La densidad es la masa por unidad de volumen.
ρ= m/v m en Kg en SI, v en m³ en SI
Ecuación de Dimensiones [ρ] = [ m ][L]ˉ³
Para el agua destilada a la presión atmosférica y 4 ˚C
ρ= 1000 kg/ m³ = 102 UTM/ m³
oPeso Específico
Es el peso por unidad de volumen
γ = W / V donde W es el peso en N en SI
V es el volumen en m³ en SI
Ecuación de Dimensiones
[γ] = [W]/[v] =[F][L]ˉ³=[M][L]ˉ²[T]ˉ²
Para el agua γ= 1000 Kgf/ m³= 9800 N/m³
oW= mg (1)
oγ = W/v entonces el W= γ*v(2)
oSustituyendo 2 en 1 se obtiene:
oγ * v = mg
oDespejando para el peso específico
oγ =m/v g y m/v= ρ, por lo tanto
oγ = ρg
oDensidad Relativa
Es la relación entre la masa de un cuerpo a la masa de un mismo volumen de agua destilada a la presión atmosférica y 4 ˚C, y es también igual al de los pesos.
La densidad relativa es adimensional.
La densidad relativa del agua = 1.0
El agua es la sustancia patrón en base a la que se miden las densidades relativas de las demás sustancias.
oVolumen Específico
Se define de distinta manera en el SI y en el ST.
En el SI el v = 1/ ρ es decir el volumen ocupa 1 kg de la masa de la sustancia
Ecuación de Dimensiones
[v ]=[L]³[M]ˉ¹
El volumen específico del agua destilada a 4˚C y presión atmosférica es 10ˉ³ m³/kg
oEn el ST v=1/γ
Compresibilidad
Tanto en fluidos como en sólidos se verifica la ley de la elasticidad:
§ Esfuerzo Unitario proporcional a deformación unitaria
§ En el caso de los fluidos el esfuerzo aplicado es de comprensión y es Δp, y la deformación unitaria es Δ v / v.
§ Obteniéndose Δp= -E Δ v / v, donde
Δp es es esfuerzo unitario de comprensión en N/ m² en SI
v es el volumen específico en m³ / kg en SI
Δv es el cambio en volumen específico en m³ / kg en SI
E módulo de elasticidad volumétrica en N / m² en SI
El signo negativo expresa que a un incremento en la presión corresponde un decremento de volumen.
Para el agua E~20,000 bar = 20,000*10^5 N / m²
Al aumentar la temperatura y la presión aumenta E.
Viscosidad
§Viscosidad Dinámica
Un sólido soporta esfuerzos normales de:
a)Compresión
b)Tracción
Un líquido soporta efectos normales de
a)comprensión, pero no de tracción
Tanto sólidos y fluidos pueden ser sometidos a esfuerzos tangenciales o cortantes.
Todos los cuerpos se deforman bajo la acción de las fuerzas tangenciales a que son sometidos.
En los cuerpos elásticos la deformación desaparece cuando deja de actuar la fuerza que la provoca.
En los cuerpos plásticos la deformación subsiste aunque desaparezca la fuerza deformadora.
§En los fluidos la deformación aumenta constantemente bajo la acción del esfuerzo cortante, por pequeño que este sea.
§Entre las moléculas del fluido existen fuerzas moleculares de cohesión.
§Al desplazarse unas moléculas con relación a las otras se produce una fricción.
§Ese coeficiente de fricción interna del fluido se llama viscosidad Dinámica y se representa por la letra griega μ.
§El estudio de la viscosidad y sus unidades se hace mediante la ley de Newton que cumplen los fluidos newtonianos como el agua, aire etc.
§Supongamos ahora que tenemos una capa de un fluido newtoniano de espesor yₒ, comprendido entre dos placas planas paralelas, la inferior fija y la superior libre. Sobre la placa superior actúa una fuerza tangencial constante F. La placa superior se desplaza con una velocidad vₒ.
§Dividamos la capa del fluido en capas infinitesimales paralelas a las placas de espesor dy. La capa contigua a la placa inferior fija se mantiene en reposo, y la capa superior contiguo a la placa en movimiento se pone en movimiento con la misma velocidad vₒ que la placa.
§Las capas intermedias se deslizan unas con otras como se deslizan las hojas de un libro colocado horizontalmente.Para mantener fija la placa inferior es menester aplicar una fuerza – F.
§La ley que rige este fenómeno establece que F es proporcional a la superficie A de la placa en movimiento, al gradiente de velocidades y a un coeficiente denominado viscosidad absoluta o viscosidad dinámica. F = A μ dv / dy
§Por definición F/A es el esfuerzo unitario cortante y se llama τ.
§ Entonces τ = F/A = μ d v / dy
§Si vₒ / yₒ = dv / dy entonces μ= Fyₒ / Avₒ
§En estas ecuaciones se observa:
a)En un mismo fluido μ = cte. Si la fuerza aumenta, aumenta la velocidad con que se mueve la placa.
b)Una fuerza por pequeña que sea produce en un fluido un gradiente de velocidad.
Un fluido no ofrece resistencia a la deformación por esfuerzo cortante.
c)En un sólido rígido, μ es infinita ya que en el sólido no se origina un gradiente de velocidades en su interior dv / dy = 0.
d)En un fluido ideal μ = 0
e)En un fluido real la velocidad dinámica tiene un valor finito distinto de 0
f)Cuanto mayor es μ mayor es la fuerza para mover la placa y el líquido es más viscoso.
§La viscosidad produce una resistencia que se llama resistencia a la deformación.
§En un fluido ideal no existe resistencia alguna.
§En los fluidos en reposo v = 0, dv / dy= 0 y τ= 0 y el único esfuerzo existente es el normal o de presión.
§El fluido real en reposo se comporta como un fluido ideal μ=0.
§Las únicas fuerzas que actúan en un fluido en reposo son la gravedad en dirección vertical y la presión en dirección normal a la superficie considerada.
§La viscosidad como cualquier otra propiedad del fluido depende del estado del fluido, caracterizado por la presión y temperatura.
§Fluido Newtoniano, es aquel fluido cuya viscosidad dinámica depende de la presión y temperatura pero no del gradiente de velocidad.
§Ejemplos de fluidos newtonianos: agua, aire, gases y fluidos de pequeña viscosidad.
§La ciencia de los fluidos no newtonianos a los cuales pertenecen las grasas, materiales plásticos, metales líquidos, suspensiones, la sangre etc. se llama REOLOGÍA.
§Ecuación de Dimensiones de la viscosidad dinámica
[μ] =[F] [T] [L]ˉ² = [M] [L]ˉ¹[T]ˉ¹
Unidades: es muy corriente expresar la viscosidad dinámica en el sistema cegesimal (CGS)
1 μ = 1 dina * s / cm² = 1 g / cm* s = 1 Poise
1 N*s / m² = 1 Pa * s
1 kgf * s / m² = 9.81 Pa * s
Viscosidad Cinemática
§En hidrodinámica junto con las fuerzas debidas a la viscosidad, aparecen las fuerzas debidas a la inercia que dependen de la densidad.
§La viscosidad cinématica no es más que la relación que representa lo dicho en el párrafo anterior es decir es la relación entre la viscosidad dinámica y la densidad.
˅ = μ /ρ
Ecuación de Dimensiones [˅] =[ L ]²[ T ]ˉ¹
Unidades : 1 ˅ = 1 m² / s en SI
En la práctica se usa mucho el Stoke = 1 cm² / s.
§La viscosidad dinámica de los fluidos varía mucho con la temperatura, aumentando con la temperatura en los gases y disminuyendo en los líquidos pero en ambos casos es independiente de la presión.
§La viscosidad cinemática de los gases varía con la presión y la temperatura mientras en los líquidos solo varía con la temperatura.
Tensión superficial
Como su nombre indica produce efectos de tensión en la superficie de los líquidos.
Donde un fluido entra en contacto con otro fluido no miscible. O un fluido entra en contacto con un contorno sólido.
El origen de esta fuerza es la cohesión intermolecular y la fuerza de adhesión del fluido al sólido.
En la superficie libre de un líquido que es la superficie de contacto entre dos fluidos la tensión superficial se manifiesta como si el líquido creara alli una fina membrana.
Ecuación de Dimensiones [σ] = [ F ][ L ]ˉ¹
Unidades: F / m de longitud.
Tensión de vapor
§En la superficie de un líquido a cualquier temperatura hay un constante movimiento de moléculas que escapan de la superficie.
§Este fenómeno es el de evaporación
§Si el líquido está en un recipiente cerrado y sobre el queda un espacio libre este espacio se satura de vapor y ya no se evapora más líquido.
§Si se aumenta la temperatura se aumenta la presión de saturación y se evapora más líquido.
§Todo fluido tiene para cada temperatura una presión ps llamada presión de saturación del vapor a esa temperatura.
§O a cada presión le corresponde una Ts, llamada temperatura de saturación del vapor a esa presión.
§Propiedad fundamental en el fenómeno de Cavitación.
Presión
§Definición y propiedades
§P = F /A donde F es una fuerza normal a la superficie A
Propiedades
§Primera propiedad
La presión en un punto de un fluido en reposo es la misma en todas direcciones. ( Principio de Pascal)
Una diminuta placa sumergida en un fluido experimentará el mismo empuje de parte del fluido sea cual fuere la orientación de la placa.
Por lo tanto la presión no es un vector es un escalar y la fuerza de presión ejercida sobre la superficie de un contorno y dirigida normalmente a la misma es la presión media multiplicada por la superficie y esa si es un VECTOR.
Segunda propiedad
§La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal dentro de un fluido en reposo es la misma.
Consideremos un cilindro de un fluido horizontal de longitud l y de sección circular infinitesimal dA.
En el equilibrio las fuerzas aplicadas a ambos lados del cilindro se igualan entonces: F1 = F2
F1 = p1 dA1 y F2 = p2 dA2
Como el cilindro es de área constante dA1 = dA2 y p1 = p2
Ni la gravedad ni las presiones sobre la superficie lateral del cilindro tienen componente alguna en la dirección del eje del cilindro. Como la dirección del eje del cilindro es arbitraria queda demostrada la segunda propiedad.
§Tercera propiedad
En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el interior de un fluido, una parte del fluido sobre la otra contigua al mismo tiene dirección normal a la superficie de contacto.
§Cuarta propiedad
la fuerza de la presión de un fluido en reposo se dirige siempre al interior del fluido, es decir es una compresión jamás una tracción.
§Quinta propiedad
La superficie libre de un líquido en reposo es siempre horizontal
Unidades de la presión
§Ecuación de Dimensiones
[p]= [ F ][ L ]ˉ² = [ M ][ L ]ˉ¹[ T ]ˉ²
Unidades N/ m² = Pa
En la práctica se expresa con frecuencia la presión en altura equivalente de columna de un líquido determinado. Por ejemplo
m de la columna de agua, mm de la columna de mercurio etc.
Dimensionalmente la presión no es una longitud, y en SI se usa en lugar de mm de Hg lo que se conoce como Torr
1 mm c Hg = 1 Torr
Pero consideremos un recipiente cilíndrico de base horizontal A lleno de líquido de densidad ρ hasta una altura h.
§P = W / A = Vρg/ A = Ah ρg / A = ρ g h
Entonces la presión es igual a la densidad por la gravedad por la altura.
Ejemplo:
Hallar la presión correspondiente a una columna de glicerina de h=300 mm.
δ glicerina = 1.26
ρ glicerina= 1.26 * 1000 kg / m³ = 1, 260 kg / m³ en SI
p = 1,260 kg / m³ * 9.81 m / s² * 0.3 m = 3,708.2 Pa.
§Con frecuencia podemos cambiar de una columna de un líquido x a otra de un líquido distinto y entonces:
P = ρx g hx = ρy g hy
hy = ρx / ρy hx
si el líquido es agua hagua = ρx / ρagua hx = δx hx
Presión atmosférica
§Sobre la superficie libre de un líquido reina la presión del aire o gas que sobre ella existe y puede tener cualquier valor en un recipiente cerrado, pero si el recipiente está abierto sobre la superficie libre del líquido reina la presión atmosférica, debida al peso de la columna de aire que gravita sobre el fluido.
§La presión atmosférica depende de: la temperatura y la altitud.
§La presión media normal a 0 °C y a nivel del mar es de
760 Torr=1. 01396 bar y recibe el nombre de atmósfera normal.
§En la técnica se usa mucho la atmósfera técnica que es igual a 1 bar.
§Hay tres tipos de atmósfera:
Atmósfera normal = 1.01396 bar
Atmósfera técnica = 1 bar
Atmósfera local y temporal : presión atmosférica reinante y un lugar y tiempo determinados.
Presión absoluta y presión manométrica o relativa
§Las presiones absolutas se miden en relación al cero absoluto(vacío total o 100 % de vacío).
§Las presiones manométricas o relativas se miden en relación a la atmósfera.
§La mayoría de los manómetros miden presiones relativas con relación a la atmósfera local.
§Para hallar la presión absoluta con exactitud habrá que sumar a la presión leìda en el manómetro,la presión atmosférica local medida exactamente con un barómetro.
§Ecuación fundamental de la presión absoluta
Pabs = P rel + P amb
§Cuando se habla de presiones relativas, el valor de la presión atmosférica tiene un valor de 0.
Hidrostática
§Un fluido se considera estático si está en reposo o si sus partículas tienen las misma velocidad constante con respecto a un sistema de referencia inercial.
§No existe esfuerzo cortante y se trabaja con una distribución escalar de presiones.
§Variación de la presión en un fluido estático incomprensible.
Consideremos el equilibrio de fuerzas de un elemento infinitesimal de fluido. Las fuerzas que actúan son debido a la presión del medio circundante y a la fuerza de gravedad
Para el equilibrio se tiene :
-ɣ dx dy dz k + (-grad p) dx dy dz = 0
de donde resultan las siguientes ecuaciones escalares:
δp / δx =0 δp /δy = 0 δp/δz = -ɣ
§La presión varía solo en la dirección z
§Entonces la derivada parcial se convierte en derivada total.
dp / dz = -ɣ Esta ecuación diferencial se aplica a cualquier fluido estático compresible e incompresible.
Si evaluamos la distribución de presiones e integramos usando límites de integración convenientemente elegidos tendremos:
patm z0
∫ p dp = ∫ z -ɣdz
Si el fluido es incomprensible ɣ es constante
patm – p = - ɣ (z0 – z)
p – patm = ɣ d entonces p-patm = Presión manométrica o relativa
§Variación de la presión para un fluido estático compresible
Las distancias verticales en los gases en los problemas de manometría son muy pequeñas y se ignora la variación de la presión con la altura en esos casos.
Pero en calculos que involucren distancias verticales grandes como ocurre al considerar las atmósferas de los planetas si debe tomarse en cuenta.
El ɣ en este caso es variable, ya que el gas es compresible, al usar la ecuación de estado sabemos que pv = RT donde v es el volumen específico y en el SI es el inverso de la densidad.
Entonces si ɣ =ρg y ρ = 1 / v podemos decir que ɣ= 1/v g
y v = g/ɣ
Caso 1. Gas Perfecto Isotermo
pv = p1v1 = c pg/ɣ = p1 g1/ɣ1 = c
Suponiendo g constante y dividiendo por g entonces p/ɣ=p1/ɣ1=c/g = C’
§ dp / dz = -ɣ = -p/ C’
Suponiendo variables de integración entre p1 y p y z1 y z se tiene
p z
∫ p1 dp/p = ∫z1 dz/ C’
p z
ln p│p1 = -z/ C’│z1
ln p/p1 = -1/C’ ( z-z1)
Despejando para p y sustiyuendo C’= p1 / ɣ1
p = p1 exp [- ɣ1/ p1 (z-z1)]
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